محاضرات الإحصاء الرياضي علوم اجتماعية علم اجتماع علم النفس

محاضرات الإحصاء الرياضي

مقدمة
هذه المطبوعة
هذه المطبوعة هي عبارة عن محاضرات الإحصاء حسب البرنامج الوزاري لمقياس "إحصاء 2" للسنة الثانية علوم التسيير. برمج هذا المقياس لطلبة السنة الثانية، لكي يستفيد الطلبة من القاعدة التي اكتسبوها عند دراسة الإحصاء الوصفي في السنة الأولى، لكن هدفه الأساسي هو التمهيد لدراسة الإحصاء التطبيقي في السنة الثالثة. هدف هذا المقياس هو تقديم علم الإحصاء الرياضي، أي الأساس الرياضي للإحصاء التطبيقي.
باعتبارها فرعا من الرياضيات، تدرس مادة هذا المقياس في كليات العلوم و الهندسة، لكن تقديم هذه المادة لطلبة العلوم الإنسانية يتضمن صعوبة خاصة. هذه المطبوعة هي ثمرة تجربة سنوات عدية في تدريس الإحصاء بكلية العلوم الاقتصادية لجامعة المسيلة، ولقد حاولنا أن نستفيد من هذه التجربة لصياغة محتوى المقياس بطريقة تلائم مستوى طلبة هذه الكلية و طبيعة التخصص. لتحقيق هذا الغرض حرصنا على ربط المفاهيم والقواعد النظرية باستخداماتها التطبيقية؛ فعملنا على إعطاء أمثلة محلولة عن كل مفهوم جديد. و لأن فهم القواعد الرياضية يكون أسهل إذا كان للمتلقي خلفية عن المشكلة التي يحتاج حلها إلى استخدام هذه القواعد، عملنا في كثير من الأحيان إلى التقديم لبعض الدروس أو النظريات بمسألة تكون بمثابة التمهيد، وأحيانا بمثابة مشكلة ننطلق منها لنتوصل إلى النظرية. هذا وننبه طلبتنا الأعزاء إلى أنه يفترض بهم عند دراسة الإحصاء الرياضي أن يكونوا قادرين على استيعاب المفاهيم الرياضية بعموميتها و لا يبقوا خيالهم حبيس الأمثلة والمسائل المعطاة، فالإحصاء الرياضي غير الإحصاء التطبيقي الذي يعنى بتطبيقات هذه المفاهيم فيما بعد.
يتضمن البرنامج المقرر على ثمانية فصول، أطولها الفصل الثاني المعنون "المتغيرات العشوائية". من أجل الموازنة بين الفصول رأينا أن نعيد تجزئة محتويات البرنامج. فأعدنا تقسيم محتويات الفصل الثاني إلى 3 فصول نظرا لحجمه، وجمعنا محتويات الفصل السابع و الثامن في فصل واحد لتعلقهما بموضوع واحد. ولقد قسمنا الفصول إلى مباحث، بحيث يوافق المبحث محاضرة واحدة في أغلب الأحيان، و التزمنا في الغالب الأعم بالمنهج المقرر، لكن سوف يجد القارئ أننا توسعنا في بعض الجوانب من خلال الملحقات، فله أن يلم بهذه الاستطرادات إن رأى أنه قد تمكن من فهم النقاط الرئيسية المقررة، و إلا فإننا ننصحه بأن يمر عليها مرور الكرام. و غني عن الذكر أن محتوى هذه المطبوعة من نظريات وقواعد ليس من إبداع مؤلفها، و إنما هي قواعد مبسوطة في المراجع جمعناها وعرضناها بأسلوب رأينا أنه الأنسب لمستوى طالب كلية العلوم الاقتصادية. وإذ نقدم لطلبتنا و زملائنا هذا العمل المتواضع، نهيب بهم أن لا يبخلوا علينا بملاحظاتهم وتعليقاتهم حتى نستفيد منها لطبعات مقبلة بحول الله.
متطلبات المقياس
فيما يتعلق بما تحتاجه متابعة وفهم هذا المقياس، من المهم التمييز بين الفصل الأول وبقية الفصول الأخرى. فالفصل الأول الذي يتضمن المفاهيم الأساسية لعلم الاحتمالات لا يحتاج استيعابه إلى مستوى عالي في الرياضيات، أما باقي الفصول فيتطلب فهمها أن يقوم الطالب بمراجعة عدد من المفاهيم الرياضية أغلبها متضمنة في برنامج الرياضيات للسنة الأولى. تتمثل هذه المفاهيم أساسا في الدوال، الاشتقاق، التكامل (خاصة التكامل بالتجزئة) والدوال الأسية. كما يحتاج الطالب إلى قاعدة بسيطة في مفاهيم اللوغاريتم، التكامل الثنائي والسلاسل الشهيرة.
كلمة إلى الطلبة
كثيرا ما نلاحظ أن الطلبة يستخدمون التمارين المقدمة في السلاسل كنماذج أو شبه قوانين في حد ذاتها يحاولون حفظها بينما هي في الحقيقة مجرد وسيلة لفهم الدرس. هذا التشبث بالشكل دون المضمون في محاولة يائسة لمواجهة الامتحان دون فهم حقيق لمضمون المادة هو نتيجة حتمية بالنسبة لمن لا يتابع المحاضرات والتطبيقات بالمراجعة المستمرة و الفورية. وحسب رأينا فإن الصعوبة التي يواجهها الطلبة في هذا المقياس سببها أنه مقياس يعتمد أساسا على الفهم أكثر مما يعتمد على التذكر. وهذا الفهم لا يتأتى عن طريق التلقي من الأستاذ، مهما بذل هذا الأخير ومهما كانت مهارته، وإنما يحتاج إلى جهد مستقل يبذله الطالب بمفرده مع قدر من التركيز و المثابرة. "الوصفة السحرية" لفهم هذه المادة، هي المراجعة بجرعات منتظمة و فورية (بعد كل محاضرة قبل النوم !) مع شيء من التركيز على القواعد والمفاهيم حتى يتم فهمها فهما جيدا. وليعمل الطالب على تعميق فهمه من خلال تمارين السلاسل و لكن لا يتخذها "نماذج" جامدة أو قواعد إضافية. إن هدف الأستاذ والجامعة ككل هو إعداد الطالب لمواجهة المشكلات المعقدة للتسيير، وهذا الهدف لا يتحقق إلا بتنمية الذكاء والتزود بعدد من التقنيات المساعدة. إن الجائزة الحقيقية التي يجب أن يتوقعها الطالب من دراسة بالجامعة هي تكوين قدرة على التعلم الذاتي أكثر من تجميع كم من المعارف التي قد لا يحتاجها أبدا، و هي من جهة أخرى، تكوين ذهنية مستقلة قادرة على تحليل المشكلات والوضعيات المعقدة وصياغتها في شكل واضح ودقيق ومن ثم إبداع حلول لها من خلال تفكيره الخاص. هذه القدرة لا تتأتى إذا عود الطالب نفسه على إعمال فكره مطولا في المسائل التي تطرحها التمارين مما يعطي الطالب القدرة على التحليل والتركيب والاستنباط والاستدلال كأسس التفكير المنتج والمبدع. إن الوصول إلى هذه القدرة على مواجهة مشكلات وحلها هي غاية أساسية للتعليم الجامعي وهي أحسن رأسمال يجمعه الطالب ليستثمره حياته العامة والخاصة معا.
نبذة تاريخية عن تطور علم الاحصاء
"وهكذا فإن البحث يتقدم عبر مراحل منفصلة و مستمرة من الحدس، التعصب، الإثارة و الحمى. و ذات يوم تتحقق أخيرا الفرحة و يتذوق طعمها من عاش تلك اللحظات الفريدة. […] ألبرت أينشتاين

قبل الشروع في دراسة الطرائق المختلفة للإحصاء الرياضي يستحسن أن يحيط الطالب بنظرة عن التطور التاريخي للإحصاء كممارسة وكعلم، وأن يطلع على مجموعة من أبرز من كتبوا في هذا العلم.
الفترة ما قبل الميلاد إلى غاية القرن 18: تدل الحفريات التي وجدت في أماكن متعددة على استخدام الإحصاء من قبل عدد من الحضارات القديمة عبر المعمورة. منذ القدم استخدم الحكام والأمراء الإحصاء كوسيلة للرقابة، و أداة لإدارة المملكة أو المدينة أو المقاطعة، واستخدموا في ذلك تعداد السكان وجرد السلع والموارد المختلفة. في الحضارة السومرية، التي سادت في بلاد ما بين النهرين 5 آلاف إلى ألفي سنة قبل الميلاد، والتي ازدهرت فيها التجارة بشكل كبير، كانت قوائم من السلع والأشخاص تدون على ألواح من الصلصال، وقد وجدت حفريات مشابهة تثبت استخدام الجرد في عهد الحضارة المصرية التي سادت 3 آلاف سنة قبل الميلاد. الحضارة المصرية التي قامت على التسيير والتقسيم الدقيق لمياه النيل اتسمت إدارتها بالمركزية الشديدة وهذا الذي أعطى الأهمية للتدوين كوسيلة للمراقبة، فقد كان للمصريين القدامى مدارس يتعلم فيها الموظفون القراءة والكتابة والقوانين المعمول بها، وكان مما يتعلمه الموظف أن لا اعتبار لأمر أو عقد ما لم يكن مكتوبا. واستخدم الجرد لدى جميع الحضارات القديمة تقريبا كالحضارة الصينية والهندية واليابانية واليونانية والرومانية، وكذا حضارة الإنكا في الساحل الغربي لأمريكا الجنوبية (ابتداءا من القرن 12 إلى غاية 1572) . في هذا العهد كان الإحصاء عبارة عن جرد المواد والأفراد وأحيانا نجد نظاما لتصنيف المعلومات لكن لم يوجد دليل على عمليات معالجة لهذه المعطيات.
في العهد الإسلامي كان الخليفة عثمان (ر) أول من أمر بالتدوين لإحصاء المستفيدين من عطايا بيت المال، أما في أوربا فنجد أن أول الآثار عن عمليات التعداد ترجع إلى 1086 فقط وبالتحديد في بريطانيا. أما في فرنسا فإن عمليات التعداد ترجع إلى القرن 14 الذي شهد ميلاد أول تسجيلات عقود الحالة المدنية وإجبارية تسجيل عقود الازدياد في عهد فرنسوا الأول. في فرنسا دائما تجدر الإشارة إلى أنه في القرن17 حين أراد ″كولبيرت″ - أب الإدارة الفرنسية – أن يدفع ببلاده إلى المستوى الصناعي الذي بلغته بريطانيا في ذلك الوقت، أسس إدارة مركزية قوية... وكان من منجزاته أن شهدت وزارته (1630-1660) عددا من عمليات التحقيق الكبرى. وشهدت ألمانيا وبريطانيا تطورا مشابها بالإضافة إلى دول أخرى. وقد كان "قرانت" (1620- 1674 GRANT أول من استعمل في 1662 مصطلحات علم السكان مثل الخصوبة وطول مدة الحياة؛ كما قارن بين معدلات ولادة الإناث والذكور. وقد طور هذا العالم مع عالم آخر هو بيتي (PETTY) طريقة لتعداد السكان من خلال المعطيات الثانوية (عن عدد المساكن، عدد الوفيات...) تدعى "طريقة المضاعف" (Multiplicateur) عرفت بعد ذلك تحسينات متتالية على أيدي علماء آخرين منهم خاصة "لابلاس" (LAPLACE) في 1785.
ظهور نظرية الاحتمالات في قرن17 و18: تاريخيا ارتبط ظهور نظرية الاحتمالات بألعاب الحظ التي كانت سائدة بكثرة في أوربا في القرن السابع عشر وتنظمها البنوك بشكل خاص. لكن قلة انتشار طباعة الكتب والأجواء الدينية السائدة التي لا تبارك هذه الألعاب منعت انتشار الكتابات في هذا الشأن. وينسب البعض أول الكتابات في علم الاحتمالات إلى العالم "باسكال" (1623 -1662 (PASCAL الذي كتب عما أسماه آنذاك "هندسة الحظ" (La géométrie du hasard). وكان ذلك من خلال رسائل له مع زميله المعروف هو الآخر "فرمات" (1601 – 1665FERMAT . وتذكر في هذا الصدد بشكل خاص المسألة التي طرحها على باسكال أحد هواة الألعاب "كم ينبغي من رمية لمكعبي نرد حتى يمكن المراهنة بتفاؤل على الحصول على مجموع 12؟ ". ثم جاء علماء آخرون كانت لهم إضافات بارزة في هذه الفترة مثل هايجان (HUYGEN : 1629 – 1695)، جاك برنولي (JACQUES BERNOULLI) ، موافر (MOIVRE) وكذا لايبنيتز (1646 – 1716 LEIBNIZ . كما ساهم في هذه الفترة التي سبقت القرن 19 علماء كبار أمثال (LAPLACE (GAUSSE, BAYES,عرفت نظرية الاحتمالات على أيديهم إنجازات كبيرة.
القرن 19: في هذا القرن برزت إحدى أهم عناصر نظرية الاحتمالات وهي "التوزيع الطبيعي" وذلك لقياس نسبة الخطأ في مجال الحسابات الفلكية. كان هذا من ثمرة عمل العالمين لابلاس وقوس GAUSSE) و(LAPLACE. في هذا القرن أيضا ظهرت حسابات الارتباط لقالتو (GALTOU) كما برزت أسماء مثل كتلت (QUETLET) وآخرون .
القرن العشرون: نظرية الاحتمالات كما نراها الآن، أي بصياغة رياضية ناضجة في شكل قوانين مبرهن عليها رياضيا، إنما تبلورت في القرن العشرين وبالضبط في بدايته. ومن الأسماء التي برزت في الفترة الأولى (1980 – 1920) من هذا القرن نجد من بريطانيا بيرسون (KARLE PEARSON) ومن روسيا ماركوف (MARKOV) ومن فرنسا بوريل (BOREL). في الفترة الثانية (1921 – 1932) درست مسائل التوقع، حيث كان لفيشر(FISHER) دورا بارزا.
في الفترة الممتدة من 1933 إلى نهاية الحرب العالمية الثانية برزت اختبارات الفروض على يد نايمان(NEYMAN) وإيقون بيرسون (EGON PEARSON) وبداية النظرية الحديثة للمعاينة لنايمان (NEYMAN) بالإضافة إلى خطط التجارب لفيشر. بداية من الخمسينات تكاثرت الكتابات في مجال الإحصاء حيث عرفت نظرية التقدير وتحليل البيانات. وبالتدريج انتشر استخدام الإحصاء في الميادين المختلفة والعلوم التجريبية والإنسانية.
ملخص: تاريخيا إذا كانت أولى استعمالات الإحصاء ارتبطت بحاجة الدولة لتنظيم الجباية والتجنيد ودراسة السكان فإن أولى الدراسات في حساب الاحتمالات (أصل الإحصاء الرياضي) ارتبطت أول الأمر بمسائل ألعاب الصدفة والحظ كمجال جديد أثار فضول عدد من العلماء الذين أسسوا هذا العلم في القرن 17. التطور السريع لعلم الاحتمالات كفرع من الرياضيات كان في بدابة القرن 20 لكن أهم عناصر الإحصاء الرياضي كما هو معروف الآن تبلورت في النصف الأخير منه.
تعريف علم الإحصاء
تعريف مصطفى الخواجة : "يقصد بعلم الإحصاء، الطريقة الإحصائية، وهي تلك الطريقة التي تمكن من:
• جمع الحقائق عن الظواهر المختلفة في شكل قياسي،
• تسجيل بيانات تلك الحقائق في جداول تلخيصية،
• عرض بيانات تلك الجداول بيانيا وتحليلها بهدف معرفة اتجاهات هذه الظواهر والعلاقات فيما بينها.
أي أن علم الإحصاء يختص بالطريقة العملية لجمع وتنظيم وتلخيص وعرض وتحليل البيانات بهدف الوصول إلى نتائج مقبولة وقرارات على ضوء هذا التحليل. أي يمكن القول بإيجاز شديد أنه" علم استنباط الحقائق من الأرقام بأسلوب علمي وبطريقة علمية."
... "ويمكن تقسيم علم الإحصاء إلى قسمين وهما الإحصاء الوصفي والإحصاء التحليلي, وفرع الإحصاء الذي يهدف فقط إلى وصف وتحليل مجموعة معينة دون الوصول إلى نتائج أو استدلال خاص بالمجموعات الأكبر أو الأخرى فإنه يسمى بالإحصاء الوصفي، أما الإحصاء التحليلي فيهتم بعمليات التنبؤ والتقدير عن طريق استخدام جزء من المجموعة للوصول إلى قرار أو حكم عام يمكن تطبيقه على المجموعة كلها، ولذلك يعتمد في جزء كبير منه على نظرية الاحتمالات."
تعريف جلاطو جيلالي : "الإحصاء هو علم جمع وترتيب معلومات خاصة بظاهرة معينة وقياس الوقائع كأساس للاستقراء ".
تعريف جون جاك دراوزبيك : يعرف هذا العالم الإحصاء بأنه ذلك العلم الذي يشمل " مجموعة الطرق التي تهدف إلى معالجة المعطيات ..." ويقول عن موضوع علم الإحصاء: "يتعلق الأمر بمعرفة كيفية الحصول على تلك البيانات، معـرفة من أين يتم تجميعها وبأي شكل يكون ذلك التجميع."
تعريف دومنيك سلفاتور : " الإحصاء هو مجموع الطرق الرياضية المتعلقة بجمع، وعرض، وتحليل، واستخدام المعطيات الرقمية. هذه العمليات تمكن من استخلاص استنتاجات واتخاذ قرارات إزاء حالة عدم التأكد التي نواجهها في مجال الاقتصاد ومجال الأعمال أو في علوم اجتماعية وفيزيائية أخرى."
ويواصل الكاتب « نميز بين الإحصاء الوصفي والإحصاء الاستدلالي (Statistique Inductive) الأول يلخص، يحوصل ويحلل كما من من المعطيات، أما الثاني فيسقط على الكل من خلال دراسة الجزء، الكل يسمى في هذه الحالة المجتمع (أو العالمUnivers ) والجزء يسمى العينة. صحة الإسقاط تتطلب إذا أن تكون العينة ممثلة وأن تكون احتمال الخطأ محسوبا."
فيما يخصنا، يهتم هذا المقياس بدراسة الفرع الثاني من الإحصاء المتمثل في الإحصاء الاستدلالي، وهناك من يسمي هذا الفرع من الإحصاء "الإحصاء التطبيقي". من المهم ذكر هذه التسميات حتى يعلم الطالب أن بإمكانمه البحث عن مادة المقياس في مراجع تحت هذه العناوين وغيرها مثل الاقتصاد القياسي، الإحصاء الاقتصادي، الاحتمالات، الاحتمالات والمتغيرات العشوائية أو ببساطة الإحصاء.
الاحصاء التطبيقي
تعريف "ريجينالد لافوا" : "المسألة الأساسية للإحصاء التطبيقي تتمثل نظريا كما يلي: نريد دراسة عدد من الخصائص (كالعمر، الوزن، التوجه السياسي...) لمجتمع ما، لكن لأسباب مختلفة لا يمكن أن نشمل بالدراسة كل أفراد المجتمع. لهذا نلجأ إلى دراسة جزء من المجتمع (عينة) لدراسة هذه الخصائص، وعند إتمام دراسة العينة نعمل على تعميم على المجتمع ككل الحقائق المشاهدة مع التقييم، لفرض عدم الخطأ في هذا التعميم".
حوصلة: بصفة عامة ومن خلال جميع التعريفات السابقة يمكن القول أن علم الإحصاء يهتم بكيفية جمع وترتيب وعرض البيانات وكذا كيفية تحليلها للخروج بخلاصة مفهومة.

الفصل I. تذكير بالمفاهيم الأساسية للاحتمالات
مفاهيم أساسية الترميز

من بين علوم الرياضيات العليا يعتبر البعض الاحتمالات على أنها الأكثر تعقيدا و "الأكثر علوا" !!، والحقيقة غير ذلك. إنها لا تعدو أن تكون بالنسبة لمن يريد حقا فهما لعبة مسلية تتلخص في بضعة قواعد بديهية. ولا يضاهي بساطة الاحتمالات إلا تعدد استخداماتها وتواجدها في جميع الميادين، ما يفسر حتمية دراستها على جميع الشعب تقريبا. بالنسبة لعالم الاقتصاد والتسيير فإن فهم حساب الاحتمالات هو أداة يومية لمعالجة المشاكل المطروحة واتخاذ القرار. فقرارات المسير، بل وحتى رب البيت، تبنى في 99 % من الحالات على معلومات غير مؤكدة.
المبحث 1. مفاهيم أساسية
مفهـوم التجربة، الحدث والاحتمال
خصائص الاحتمال
القواعد الأساسية في حساب الاحتمال
تعريف باسكال للاحتمال

1 مفهوم التجربة، الحدث والاحتمال Epreuve, événement, probabilité
(‌أ) الاحتمال و الحدث Evénement et probabilité
كثيرا ما يخلط الطلبة بين هذين المفهومين لارتباطهما ببعض. فالحدث العشوائي هو واقعة أو نتيجة ما، أما الاحتمال فهو عدد بين الصفر والواحد يعبر عن حظوظ وقوع الحدث (ليس شرطا أن يكون زمن وقوع الحدث هو المستقبل، فقد يكون الماضي أو الحاضر). سئل الرئيس العراقي السابق - قبل حرب الخليج الأولى- ما هو احتمال انهزامكم في هذه الحرب ؟ فأجاب: "واحد إلى مليون". عندما نرغب في التعبير بشكل دقيق على مدى إمكانية وقوع حدث معين فإننا عادة نستعمل عبارات مثل: 100% للحدث المؤكد أو 50% للحدث المحتمل و1‰ مثلا للحدث المستبعد، إذن نحن نستخدم الكسور في سلم تصاعدي من 0 إلى1، بحيث يرمز 0 للاستحالة و1 للتأكد.
مثال. احتمال الحصول على صورة عند رمي قطعة نقدية هو 1/2، و احتمال الحصول على الوجه "6" عند رمي حجر نرد هو 1/6 .
يمكن جمع الأعداد أو طرحها و يمكن أن تخضع للجداء و القسمة أما عمليات التقاطع و الاتحاد، .. فهي عمليات على المجموعات و ليست على الأعداد. من أجل ذلك لا يصح أن نكتب احتمال تقاطع (أو اتحاد) احتمال. تمثل هذه القاعدة الذهبية الأولى في الاحتمالات وفي هذا المقياس ككل.
ويجب التمييز بين الاحتمال والإمكانية (الإمكانية هي حدث). فالاحتمال في مفهوم العلم هو عدد يقيس حظوظ وقوع شيء ما نسميه نتيجة أو حدث أو إمكانية. أما الإمكانية فهي حدث أو نتيجة ما من بين أحداث أو نتائج أخرى. يختلف عن هذا المفهوم العلمي تعريف الناس للاحتمال. فكثيرا ما تطلق كلمة الاحتمال و يقصد بها إمكانية، فيقال مثلا "إن هذا احتمال ممكن" و الصحيح إن هذه إمكانية واردة" أو يقال "إذا رمينا حجر نرد هناك 6 إحتمالات" و الصحيح " هناك 6 إمكانيات أو 6 نتائج محتملة"، ...
(‌ب) التجربة Epreuve
لشرح المفهوم المجرد للتجربة و تمييزها عن الحدث يمكن القول أن التجربة هي أم الحدث أو أم النتيجة. لأن التجربة تتفرع بالضرورة إلى أحداث. ففي المقولة السابقة، التجربة هي الحرب بينما الهزيمة هي نتيجة ممكنة للحرب.و التجربة قد تقبل نتيجتين أو أكثر.
ومفهوم التجربة في علم الاحتمالات مفهوم عام و مرن، فإذا كنا ندرس احتمال الحصول على الوجه 6 عند رمي قطعة نرد تكون التجربة هي الرمي، و إذا كنا ندرس احتمال عدد معين من الوحدات التالفة لآلة ما يمكن اعتبار كل وحدة منتجة كتجربة، وإذا كنا ندرس احتمال عدد معين من الطلبة الراسبين في مقياس ما نعتبر كل طالب كتجربة... نقول احتمال حدث أو احتمال نتيجة ولا نقول إحتمال تجربة.
2 خصائص الإحتمال
عادة ما نعبر عن هذه الخصائص بالطريقة التالية:
• الاحتمال هو عدد موجب تماما أو معدوم (لا يكون سالبا).
• مجموع احتمالات أحداث تجربة ما يساوي الواحد.
ويمكن إضافة خاصية ثالثة تستنتج بديهيا من الخاصيتين السالفتين وهي أن الاحتمال يكون محصورا بين 0 و1. أي أنه لا يمكن أن يكون سالبا ولا أن يكون أكبر من الواحد.
3 الأركان الخمسة في حساب الاحتمالات
هناك خمس قواعد أساسية في حساب الاحتمال نذكرها الآن باقتضاب لإبراز أهميتها ونعود لشرحها فما بعد وسنحتاج إلى استخدام هذه القواعد في جميع فصول المقياس.
1. احتمال وقوع حدث يساوي 1مطروحا منه احتمال الحدث المعاكس. مجموع احتمال الحدث واحتمال الحدث المعاكس يساوي 1.
2. احتمال وقوع حدثان "أ" و "ب" يساوي احتمال وقوع الأول مضروبا في احتمال وقوع الثاني لما يكون الأول قد وقع فعلا.
3. احتمال وقوع حدثان مستقلان يساوي جداء الاحتمالين أي احتمال الحدث الأول مضروبا في احتمال الحدث الثاني.
4. احتمال وقوع الحدث وعكسه يساوي الصفر، ونقول أن الحدثان متنافيان.
5. احتمال وقوع حدث "ا" أو "ب" يساوي جمع احتمالي الحدثين مطروحا منه احتمال تحققهما معا.
4 القاعدة السادسة أو حساب الاحتمال حسب تعريف باسكال للاحتمال
عرف بليز باسكال (Blaise Pascal : 1623) الاحتمال بالشكل التالي:
"احتمال حدث هو عدد الحالات الملائمة لوقوع الحدث مقسوما على عدد الحالات الممكنة، إذا اقترضنا أن كل الحالات لها نفس الاحتمال في الوقوع."
مثال: ما هو احتمال الحصول على عدد زوجي عند رمي قطعة نرد ؟ بين كل من التجربة، الحدث والاحتمال في هذا المثال.
الجواب: هناك ثلاث حالات ملائمة للحصول على عدد زوجي (2، 4 و6). أما العدد الكلي للحالات الممكنة فهو 6: (1، 2، 3، 4، 5، 6). وبافتراض أن كل الحالات الممكنة لها نفس الاحتمال فإن احتمال الحصول على عدد زوجي هو = .
تنبيه: لا يمكن استخدام هذه العلاقة إذا لم تكن احتمالات الحالات متساوية،.
مثال2. صندوق به 7 كريات منها 5 حمراء. نسحب 3 كريات معا. ما هو احتمال أن تكون كلها حمراء؟ بين كل من التجربة والحدث في هذا المثال.
عدد الحالات الملائمة وعدد الحالات الممكنة: . إذا الاحتمال هو . التجربة هي السحب من الصندوق، الحدث أو النتيجة هي الحصول على ...
مثال3. فوج مكون من 10 طلبة. نسحب بالقرعة اسم من العشرة. ما هو احتمال أن يكون الطالب أحمد؟ بين كل من التجربة والحدث.
نسحب (بدون إعادة) عينة من 3 أسماء من العشرة. ما هو احتمال أن يكون منهم الطالب أحمد؟
الجواب: 1) احتمال الحدث الأول أو النتيجة الأولى هي ،
2) عدد الطرق الممكنة للعينة: ، عدد الحالات الملائمة لكي يكون أحمد في العينة:

الاحتمال هو إذا:
التجربة هي السحب، النتيجة أو الحدث هي أن يكون الطالب أحمد، ...
مثال 4. يتنافس أحمد مع 3 زملائه على أعلى نقطة في كل من الامتحانات الستة للسداسي. إذا كانت حظوظ الطلبة الأربعة متساوية، ما هو احتمال: أن يفوز أحمد بأعلى نقطة في كل من الامتحانات الستة؟ أن يفوز أحد الطلبة (أيا كان) بأعلى نقطة في الامتحانات الستة؟
الجواب:
1) هناك 64 = 4096 حالة ممكنة لنتائج المنافسة، منها حالة فوز أحمد بجميع المقاييس؛ إذا الاحتمال هو 1/4096.
2) هناك 4 طلبة إذا هناك 4 حالات لفوز أحد الطلبة بجميع المقاييس، إذا الاحتمال هو 4/4096 .
5 خلاصة
الاحتمال هو عدد لا يزيد عن 1 و لا يقل عن 0.
التجربة والحدث والاحتمال هي مفاهيم لا يجب الخلط بينها. التجربة يتولد عنها أحداث (نتائج أو حالات) مختلفة. التجربة مفهوم مرن يتطلب أحيانا نظرة ذكية وخيال. من المهم اكتساب هذه المهارة في تحديد ما هي التجربة أو التجارب في مسألة ما لأن ذلك هو المفتاح لفهم و حل المسألة.
هناك خمس قواعد في حساب الاحتمال هي الأركان الأساسية لعلم الاحتمالات. هذه القواعد متعلقة ب:
 احتمال الحدث المعاكس،
 باحتمال تحقق حدثين معا،
 باحتمال تحقق حدثين معا إذا كانا مستقلان،
 باحتمال تحقق أحد حدثين،
 و متعلقة باحتمال تحقق الحدث و عكسه معا.

المبحث 2. الترميز أو التعبير الرياضي عن الاحتمالات

"الطبيعة هي كتاب لغته الرياضيات" جاليلي (1564-1642)
استخدام نضرية المجموعات
التعبير الرياضي عن قواعد جمع وضرب الاحتمالات
نظرية بايز
نستخدم الترميز من أجل التوصل إلى تعبير دقيق و واضح لقواعد الحساب الاحتمالي وهي ذاتها القواعد الأربعة المذكورة في الجزء الأول.
نعبر عن احتمال حدث ما بطريقة رياضية فنكتب P(A)
ونعبر عن احتمال وقوع الحدث : X = x كما يلي: P(X = x) أو P(x) .
مثال: احتمال الحدث: "الحصول على الوجه 5" عند إلقاء حجر نرد يكتب: 1/6 = P(X = 5) ، أو باختصار: 1/6 = (P(5
و أحيانا نختصر أكثر فنكتب: 1/6 = P.
1 استخدام نظرية المجموعات للتعبير عن الأحداث العشوائية
من خلال البنود التالية تستخدم نظرية المجموعات للتعبير عن الأحداث العشوائية:
1. نعبر عن النتائج الممكنة لتجربة ما ب Ω، وتسمى المجموعة الكلية أو فضاء العينة.
2. نعبر عن الحدث بمجوعة جزئية A من فضاء العينة، حيث A هي مجموعة من النتائج الممكنة للتجربة.
3. إذا انتهت التجربة بنتيجة تمثل عنصرا من A نقول أن الحدث A قد تحقق.
4. الحدث الذي يحتوي على نقطة أو عنصر واحد منΩ يسمى عادة حدث بسيط.

مثال. لتكن لجينا تجربة هي إلقاء مكعب نرد. أكتب مجموعة فضاء العينة ثم عبر عمليا عن الأحداث التالية:
الحدث A: الحصول على العدد 6 (حدث بسيط) {6} , A= { 1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω
الحدث B: الحصول على عدد زوجي {2, 4, 6} =B
الحدث C: الحصول على عدد أولي {2, 3, 5} = C
الحدث D: الحصول على عدد فردي {1, 3, 5} = D
مثال 2: لتكن لدينا تجربة هي رمي قطعتين نقديتين على التوالي: أكتب مجموعة فضاء العينة ثم عبر عن:
الحدث A : الحصول على مرتين كتابة (حدث بسيط) {PP }, A = { PP, PF, FP, FF}= Ω
الحدث B : الحصول على كتابة مرة واحدة {FP, PF } B =
الحدثC : الحصول على كتابة في الرمية الأولى {PF, PP }= C

5. من بين الأحداث الممكنة في تجربة ما أيا كانت، الحدث Φ يمثل الحدث المستحيل لأنه لا يمكن أن يتحقق عنصر منها. P(Φ) = 0.
6. من بين الأحداث الممكنة في تجربة ما أيا كانت، حدث المجموعة الأساسية Ω نفسها، وهو الحدث الأكيد لأنه لابد أن يتحقق أحد عناصرها على الأقل. P(Ω) = 1
7. بتطبيق عمليات مثل الإتحاد والتقاطع، الطرح، الجمع .... على المجموعات نحصل على مجموعات جديدة جزئية من Ω ومن ثم أحداث جديدة في Ω. من ذلك :
AUB هو الحدث: إماA أو B أو كلاهما.
A∩B هو الحدث: A وB في وقت معا.
CA هو الحدث المعاكس ل A.
B – Aهو الحدث: A لكن ليس B.
8. إذا كان Φ = A∩B نقول أنA وB متنافيان (أو غير متلائمان) أي لا يمكن وقوعهما معا (mutuellement exclusifs).
مثال: نرمي قطعة نقدية مرتين: إذ كان A هو الحدث "مرتين كتابة" و B "صورة على الأقل".
A = {PP}. B = {PF, FP, FF} A∩B = Φ
2 التعبير الرياضي عن قواعد حساب الاحتمالات
(‌أ) الحدث المعاكس أو التعبير الرياضي عن القاعدة رقم 1. Evénement contraire
نعبر عن الحدث المعاكس ل A ب Ā أو A' واحتماله هو احتمال عدم تحقق الحدث A، ونكتب :
P(Ā) + P(A) = 1 <=> P(Ā) = 1– P(A)

مثال: نرمي قطعة نقدية ونرمز ب P للكتابة وF للصورة (الوجه). نلاحظ أن:
P(P) = P(F') = 1– P(F) <=> P(P) + P(F) = 1
مثال 2: عند رمي حجر نرد فإن احتمال الحصول على العدد 5 هو: P(5) = 1/6 ، فما هو الحدث المعاكس في هذه الحالة وما احتماله؟
الحدث المعاكس هو الحصول على عدد غير 5، واحتماله هو: P(5') = 1 – P(5) = 1 – (1/6) = 5/6.
مثال 3: نرمي حجر نرد، ما هو احتمال الحصول على عدد زوجي، ماهو الحدث المعاكس وما هو احتماله؟
P(nombre pair) = P(2 ou 4 ou 6) = 3/6
الحدث المعاكس هو الحصول على عدد غير زوجي، و احتماله:
P(impair) = 1– P(pair) = 1– (3/6) = 3/6.
(‌ب) احتمال وقوع الحدث "A" و "B" أيا كانت (قاعدة رقم 2).
P(A∩B) = P(A)* P(B/A)
P(A∩B∩C) = P(A)* P(B/A)* P(C/(A∩B))
A, B, C أحداث ما (مستقلة أو لا، متنافية أو لا) ، (A/B)P يسمى الاحتمال الشرطي لB علما أن A محقق.
ومن المعادلة الأولى نحصل على:
لما 0 < (A) P (A)P / (A∩B)P = (A/B)P
حيث A تصبح فضاء المعاينة بما أن Aمحقق.
مثال: 1) أحسب عند إلقاء حجر نرد احتمال الحصول على قيم أقل من 4 (حدثB).
2) أحسب احتمال الحصول على نتيجة أقل من 4 إذا علمت أن الوجه المحصل لمكعب النرد عدد فردي )حدث(A.
3) أحسب احتمال الحصول على قيمة أكبر أو يساوي 4 إذا علمت أن النتيجة عدد فردي.
P(B) = P(1ou 2 ou 3) = P(1) + P(2) + P(3) = 3/6
P(B/A) = P(B∩A)/P(A)
P(B∩A) = P (impaire et ≤ 4) = P(1 ou 3) = P(1) + P(3) = 1/6 + 1/6 = 2/6
P(B/A) = P(B∩A)/P(A) = 2/6 / 3/6 = 2/3
(‌ج) احتمال وقوع الحدث "A" و "B" لما "A" و "B" مستقلان (قاعدة رقم 3).
P(A∩B) = P(A) * P(B) (P(B/A) = P(B))
وهو تعريف استقلال حدثين، أي أن وقوع B لا يتأثر بوقوع A أو عدم وقوعه نقول أن A وB مستقلان،
P(A∩B∩C) = P(A) * P(B) * P(C) P(C/(A∩B)) = P(C)
مثال: نرمي حجر نرد وقطعة نقدية معا. ما هو احتمال الحصول على الصورة والعدد 6 ؟ (نتيجة مكعب النرد مستقلة عن نتيجة القطعة النقدية).
P(A∩B) = P(A).P(B) = 0.5 * 1/6 = 1/12.
مثال 2. نلقي قطعة نقدية مرتين. أحسب احتمال الحصول على صورة في الرمية الأولى وفي الرمية الثانية.
P(FF) = P(A∩B) = P(A) P(B) = 0.5 * 0.5 = 0.25
مثال 3. صندوق به 5 كريات 2 حمراء و3 بيضاء. نسحب كرية نسجل لونها ثم نعيدها للصندوق ونكرر العملية 3 مرات.
o أحسب احتمال الحصول على 2 كريات حمراء، 3 كريات حمراء (أحداث مستقلة).
o كيف يكون الاحتمال في حالة كون السحب بدون إرجاع الكرية (أحداث غير مستقلة)؟
P(RR) = P(R1 ∩ R2) = P(R1) P(R2) = 2/5 * 2/5 = 8/25
P(RRR) = P(R1 ∩ R2 ∩ R3) = P(R1) P(R2) P(R3) = 2/5 * 2/5 * 2/5 = 8/125
P(RR) = P(R1 ∩ R2) = P(R1) P(R2/R1) = 2/5 * 1/4 = 2/20
P(RRR) = P(R1 ∩ R2 ∩ R3) = P(R1) P(R2/R1) P(R3/(R1∩R2)) = 2/5 * 1/4 * 0 = 0
(‌د) احتمال وقوع حدث "A" أو "B" (القاعدة رقم 4).
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

(‌ه) احتمال وقوع حدث "أ" أو "ب" لما "أ" و "ب" متنافيان (القاعدة رقم 5).
لتكن الأحداث المتنافية A, B
P(AUB) = P(A) + P(B) (P(A∩B) = 0)
P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) (P(A∩B∩C) = 0)

(‌و) قواعد إضافية مهمة
 من أجلA1 ⊂ A2 فإن: P(A1) ≤ P(A2) و P(A2 – A1) = P(A2) – P(A1)

 من أجل A وB أحداث أيا كانت: P(A∩B) + P(A∩B’) = P(A)

 إذا كان A هو نتيجة أحد أو بعض الأحداث المتنافية: A1, A2 , A3 , A4 , …… An
P(A) = P(A∩ A1) + P(A∩A2 ) + P(A∩A3 ) + ……. + P(A∩An )

3 نظرية الاحتمال السببي أو نظرية بايز Théorème ou règle de BAYES
لتكن 1A، 2A، 3A، . . . Ak، . . .، An أحداث متنافية فيما بينها حيث اتحادها يشكل المجموعة الكلية (الأساسية) Ω، وA حدث ما يتحقق عن طريق واحد أو أكثر من الأحداث Ak، إذا علمنا أن A تحقق، نحسب احتمال تحققه عن طريق الحدث Ak كما يلي:

تسمى هذه النظرية نظرية الاحتمال السببي لأنها تمكن من حساب احتمال أن يكون حدث ما (Ak) هو المسبب لوقوع حدث آخر (A).

مثال: وظفت أمينة مكتب (A1) بمكتب للمحاسبة حيث تولت طبع 20 % من الفواتير. يشغل المكتب عاملتين أخريين إحداهما (A2) تطبع 30% من الفواتير والأخرى (A3) 50%. ترتكب الموظفة الجديدة أخطاء في 5% من الفواتير، بينما نسبة الخطأ لدى الثانية (A2) 2% ولدى الثالثة (A3) 1%.
أخذت فاتورة بشكل عشوائي فتبين أن بها أخطاء. استبعدت الأولى أن تكون هي من أنجزت الفاتورة بحجة أنها لا تنجز إلا 20% من الفواتير، وردت عليها العاملات الأخريات بأن نسبة الأخطاء لديها هي الأكبر(5%).
1. أحسب احتمال أن تكون الموظفة الجديدة (A1) هي التي حررت الفاتورة وقارن مع احتمال أن يكون مصدر الخطأ هو A2 أو A3.
2. أحسب مجموع الاحتمالات الثلاث.
3. أحسب احتمال أن تكون فاتورة مختارة عشوائبا من مجموع المراسلات، أن تكون بها أخطاء.

يظهر من الحساب أن الاحتمال الأكبر هو أن تكون A3 هي التي حررت الفاتورة.
2. مجموع الاحتمالات P(A1/A) + P(A2/A) + P(A3/A) = 1 لأنها تمثل احتمالات الأحداث المتنافية الثلاث.
3. احتمال وجود خطأ في مراسلة ما:

4 خلاصة
باستخدام نظرية المجموعات كأساس للترميز في مجال الاحتمالات يمكن الحصول على صياغة أكثر دقة للمفاهيم المختلفة. بهذه الطريقة نستخدم:
رمز التقاطع ∩ بدلا عن عبارة "و" (et) مثال: احتمال "الوجه 2 و 5" في رميتي نرد: P(2) * P(5) = ("5" ∩ P("2"
رمز الإتحاد U بدلا عن عبارة" أو" "ou" مثال: احتمال الوجه 2 أو 5 في رمية نرد P("5"U"2") = P(5) + P(2)
رمز المتمم CA أو Ā بدلا عن عبارة "عكس A "؛ P(Ā) = 1 – P(A)
من خلال هذا الترميز يمكن أن نعبر بسهولة عن القواعد الخمسة الأساسية لحساب الاحتمالات.
- P(A∩B) = P(A)* P(B/A)
)بشرط 0< (A) P ( (A)P / (A∩B)P = (A/B)=> P
عندما يكون الحدثان مستقلان- P(A∩B) = P(A)* P(B)

- P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
عندما يكون الحدثان متنافيان أي :- P(AUB) = P(A) + P(B) (P(A∩B) = 0)

مسألة. نرمي قطعة نقدية مرتين، نسمي A"مرتين كتابة" وB "كتابة في المرة الأولى"، عبر عن الحدث:
A ، B، Ā، A∩B، AUB، B– A ، B – A
A = {PP}, B = {PP, FP}, Ā = {PF, FP, FF},
A∩B = {PP}, AUB = {PP, FP}, A – B = Φ, B – A= {FP}
5 ملحق
(‌
الفصل II. المتغيرة العشوائية
مفهوم المتغيرة العشوائية المتقطعة
مفهوم المتغيرة العشوائية المستمرة و توزيعها الاحتمالي

المبحث 1. مفهوم المتغيرة العشوائية المتقطعة وتوزيعها الاحتمالي
مفهوم المتغيرة العشوائية
مفهوم المتغيرة العشوائية المتقطعة
التوزيع الاحتمالي للمتغيرة العشوائية المتقطعة
شروط دالة الكثافة للمتغيرة العشوائية المتقطعة
التمثيل البياني لدالة الكثافة للمتغيرة العشوائية المتقطعة
دالة التوزيع للمتغيرة العشوائية المتقطعة

مسألة: أجريت دراسة على 1000 طفل أصيب خلال السنوات الثلاث الأولى من عمره بمرض ما. بينت الدراسة أن احتمال الإصابة مرتبط بالزمن (X: السنة) من خلال دالة الكثافة التالية:

 أحسب احتمال أن تكون إصابة طفل مختار عشوائيا من العينة المدروسة في السنة الأولى.
يعالج المرض لمدة شهر، شهر ونصف، أو 3 أشهر حسب الجدول التالي:
X الأشهر 1 1.5 3
الاحتمال 0.5 0.3 0.2
 أحسب احتمال أن تكون مدة علاج طفل من العينة شهر ونصف على الأكثر.
1 مفهوم المتغيرة العشوائية
هي قيمة متغيرة يلحق بقيمها احتمالات تحقق كل قيمة. يرمز للمتغيرة ع بحرف لاتيني كبير. ونميز بين م ع المتقطعة وم العشوائبة المتصلة أو المستمرة.
مثال : في تجربة إلقاء مكعب نرد يمكن أن نسمي الوجه الذي يستقر عليه الكعب متغيرة عشوائية X. القيم الممكنة لX هي: 1، 2، 3، 4، 5، 6. بكل قيمة يمكن أن نلحق احتمال تحققها، وهو هنا 1/6. ونكتب مثلا :
,… P(X = 1) = f(1) = 1/6, P(X = 2) = f(2) = 1/6
لاحظ أن القيم الممكنة ل X (1، 2، 3، 4، 5، 6 ) هي متنافية، ولذلك فإن مجموع احتمالاتها يساوي 1.
مثال 2. في تجربة إلقاء قطعة نقدية مرتين يمكن أن نعين المتغيرة العشوائية X التي تمثل عدد مرات الحصول على كتابة. في هذه الحالة القيم الممكنة ل X هي 0، 1، 2. لا حظ أنه يمكن تعيين متغيرات عشوائية أخرى انطلاقا منن نفس التجربة، مثلا Y عدد مرات الحصول على صورة، وهي متغيرة تأخد القيم 0، 1، 2، ثم المتغيرة Z بحث Z = X - Y ...
القيم الممكنة ل X هي 0، 2، -2. الاحتمالات الملحقة بقيمها يمكن حسابها كما يلي:
P(Z = 0) = P(X – Y = 0) = P(X = 0 et Y = 0 ou X = 1 et Y = 1 ou X = 2 et Y = 2) =>
P(Z = 0) = 0 + P(X = 1 et Y = 1) + 0 = 2 * 0.5² = 0.5
2 المتغيرة العشوائية المتقطعة
و تسمى أيضا م ع منفصلة، وهي التي تأخذ عددا منتهيا من القيم الممكنة في مجال مغلق.
مثال: داخل المجال المغلق [2, 5] المتغيرة X المعرفة في المثال الأول تأخذ 4 قيم ممكنة.
3 التوزيع الاحتمالي للمتغيرة المتقطعة
هي مجموعة القيم الممكنة مع الاحتمالات المرتبطة بقيم المتغيرة. نرمز للمتغيرة بحرف كبير وللقيم التي تأخذها المتغيرة بحرف صغير. نعبر عن احتمال قيمة معينة كما يلي P(X = x) ونكتب أيضا : f(x) . وتسمى الدالة f(x) دالة الكثافة الاحتمالية.
مثال: التوزيع الاحتمالي لم ع للمثال الأول (إلقاء مكعب نرد) يكتب كما يلي:
X 1 2 3 4 5 6
P(X = x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1
مثال 2. التوزيع الاحتمالي ل X، عدد مرات الصورة في رميتين لقطعة نقدية:
X 0 1 2
P(X = x) 1/4 2/4 1/4 1
4 شروط دالة الكثافة للمتغيرة المتقطعة
نعبر عن احتمال قيمة معينة كما يلي P(X = x) ونكتب أيضا : f(x) وتسمى الدالة f(x) دالة الكثافة الاحتمالية. لكي يمكن اعتبار دالة ما، أيا كانت، دالة كثافة احتمالية يجب أن يتحقق شرطان اثنان:

مثال: نأخذ دالة الكثافة ل X نتيجة لإلقاء حجر نرد: f(1) = f(2) = f(3) = … f(6) = 1/6 ≥ 0 ,
الشرط الأول محقق، والشرط الثاني أيضا لأن: Σf(x) = 1/6 + 1/6 + … + 1/6 = 6(1/6) = 1
5 التمثيل البياني لدالة الكثافة الاحتمالية ل م ع المتقطعة
تمثل المتغيرة العشوائية المتقطعة ليس من خلال منحنى ولكن من خلال أعمدة متوازية على محور X.
مثال: نمثل بيانيا منحنيات دوال الكثافة ل X وZ المعرفة على إلقاء قطعة نقدية مرتين.

رسم 3 التمثيل البياني لدالة الكثافة للمتغيرة العشوائية المتقطعة
6 دالة التوزيع F(x) للمتغيرة العشوائية المتقطعة
تعرف دالة التوزيع - وتسمى أيضا "الدالة التجميعية" – كما يلي:
F(x) = P(X ≤ x)
ويمكن استنتاج دالة التوزيع من دالة الكثافة الاحتمالية f(x) كما يلي:

إذا كانت X تأخذ عددا منتهيا من القيم فإن F(x) يمكن تعريفها كما يلي:

مثال: أوجد قيم F(x) وF(z) للأمثلة السابقة ومثلهما بيانيا.
2 1 0 X

1/4 1/2 1/4 f(x)
1 3/4 1/4 F(x)=P(X≤x)

2 0 -2 Z
1/4 1/2 1/4 f(x)
1 3/4 1/4 F(x)=P(X≤x)

ملاحظة. تأخذ دالة التوزيع للم ع المتقطعة شكلا سلميا، وهي لا تكون متناقصة في أي مجال، وأكبر قيمة ممكنة لها هي 1.

ا
تفيد هذه القاعدة الرياضية العامة في استنتاج أن مشتقة دالة التوزيع هي دالة الكثافة:

مثال: أوجد دالة الكثافة للمتغيرة X إذا كانت دالة التوزيع كما يلي:

6 خلاصة المبحث الأول و الثاني
يتم تعريف التوزيع الاحتمالي (أو القانون الاحتمالي) لمتغيرة عشوائية من خلال تحديد القيم الممكنة للمتغيرة و الاحتمالات المقابلة لها.
يتم هذا التحديد إما من خلال جدول ) جدول التوزيع الاحتمالي) أو دالة، تسمى دالة كثافة الاحتمالية.
لكي نقول عن دالة ما أنها دالة كثافة احتمالية يجب أن تكون موجبة دوما و أن يكون مجموع الاحتمالات مساويا للواحد.
الدالة التجميعية (أو دالة التوزيع) تمثل احتمال مجال من أصغر قيمة للمتغيرة إلى نقطة ما:
في حالة م متقطعة و في حالة م مستمرة.
نظرا لتعريفها تأخذ دالة التوزيع مسارا متزايدا (أو ثابتا على أجزاء من المجال). تبرز أهمية الدالة التجميعية أكثر عندما تكون المتغيرة مستمرة لأننا نهتم حينها باحتمالات مجالات. يمكن استنتاج دالة الكثافة من خلال اشتقاق دالة التوزيع.

الموضوع الأصلي : محاضرات الإحصاء الرياضي علوم اجتماعية علم اجتماع علم النفس

المصدر : ملتقى الجزائريين والعرب

شكرا وبارك الله فيك على الموضوع

الموضوع الأصلي : محاضرات الإحصاء الرياضي علوم اجتماعية علم اجتماع علم النفس

المصدر : ملتقى الجزائريين والعرب

محاضرات الإحصاء الرياضي علوم اجتماعية علم اجتماع علم النفس

محاضرات الإحصاء الرياضي علوم اجتماعية علم اجتماع علم النفس

رد: محاضرات الإحصاء الرياضي علوم اجتماعية علم اجتماع علم النفس